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1 应力-应变关系
本文将介绍结构分析中材料线性理论，在后续再介绍材料非线性的理论。在线弹性理论中应力-应变关系：
(1)
其中：
{σ}：应力分量，即在ANSYS软件里以S代替σ形式出现。
[D]：弹性矩阵或弹性刚度矩阵或应力-应变矩阵。利用(14)～(19)给出了其具体表达式。(4)给出了其逆矩阵的表达式。通过给出完整的[D]可以定义少数的各向异性单元。在ANSYS中利用命令：TB,ANEL来输入具体数值。
：弹性应变矢量。在ANSY中以EPEL形式输出。
{ε}：总的应变矢量，即
{εth}：热应变矢量，(3)给出了其定义式，在ANSYS中以EPTH形式给出。
注意：
{εel}：是由应力引起的应变。
软件中的剪切应变( εxy、εyz和εxz)是工程应变，他们是拉伸应变的两倍。ε通常用来表示拉伸应变，但为了简化输出而采用此表示。将在材料的非线性分析中说明总应变的分量，以EPTO形式输出。
图1 单元的应力矢量图
如图1给出了单元应力矢量图。ANSYS程序中规定正应力和正应变拉伸是为正，压缩时为负。 (1)式还可以被写作以下形式：
(2)
三维情况下，热应变矢量为：
(3)
其中：
：方向的正割热膨胀系数。
ΔT=T-Tref
T：问题中节点当前温度。
Tref：参考温度也就是应变自由时的温度。用TREF或MP命令输入。
柔度矩阵的定义：
(4)
其中：
Ex: 方向上的杨氏模量，在MP命令中用EX输入。
vxy:主泊松比，在MP命令中用PRXY输入。
vyx:次泊松比，在MP命令中用NUXY输入。
Gxy: 平面上的剪切模量，在MP命令中用GXY输入。
此外，[D]-1是对称矩阵，因此
(5)
(6)
(7)
由(5)～(7)，可知νxy、νyz、νxz、νyx、νzy和νzx是不独立的，因此程序中必须输入νxy、νyz和νxz(以PRXY, PRYZ, and PRXZ标记输入)或νyx、νzy和νzx(以NUXY, NUYZ, and NUXZ标记输入)。对于正交各向异性材料，泊松比的使用有时会发生混淆，为此应该输入所有的泊松比。假定Ex大于Ey，νxy大于νyx。因此νxy通常被称作主泊松比，νyx通常被称作次泊松比。对于正交各向异性材料，使用者应该查明材料属性的来源，以便正确恰当的输入和使用。实际中，正交个向异向材料通常支持主泊松比形式。对于各向同性材料，各方向上的泊松比和弹性模量相同，因此在数据输入中没有区别。
利用(3)～(7)，可把(2)展开成以下形式：
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
其中：
εx：x方向上的垂直应变。
σx：x方向上的垂直应力。
εxy：x-y平面上的剪切应变
σxy：x-y平面上的剪切应力
由(1)和(4)，(3)，(5) ～(7)式可以得六个应力显示方程：
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
其中：
(20)
如果剪切模量没有输入，那在计算各向同性材料时，利用下式计算:
(21)
对于正交各向异性材料而言，使用者要搞清楚材料的性质因为他饱含了剪切模量值，而次值在ANSYS中没有默认值。矩阵[D]一定要是正定的。为了确保[D]的正定性，程序会检查没一个被使用的单元。在后面将给出矩阵正定性的定义。在材料性质与温度相关的情况下，对于第一个载荷步程序会使用平均温度来估计材料性质。利用BFUNIF,TEMP可以输入平均温度。对于各向同性材料，材料性质总是正定的。当使用主泊松比时，对于材料的正定性定义h一定是正的。
2 对称模型中正交各向异性材料变换
把材料性质参数从R-θ-Z柱坐标系变换到x-y-z直角坐标系时，我们要十分谨慎。杨氏模量的变换是最直接的，然而泊松比的正确变换比较难。首先，对于一个圆盘体我们研究如何利用轴对称单元把杨氏模量从总体柱坐标系变换到总体的笛卡尔坐标系的方法：
因此由图2可知杨氏模量可以直接转换，即ER→EX，Eθ→Ez，Ez→Ey。在笛卡尔坐标系里给出没有剪切项的应力-应变关系：
图2 材料坐标系
(22)
为了让R-θ-Z轴匹配x-y-z轴(i.e., x → R, y → Z, z → θ):
(23)
这里假设νxy、νyz、νxz和νRZ、νRθ和νzθ都是主泊松比。即Ex≧Ey≧Ez和ER≧Ez≧Eθ。如果不满足这种假设，则
(24)
3 与温度相关的热膨胀系数
考虑一种典型的情况，可以从（3）的热应变得
(25)
其中：
αse(T)：与温度相关正割热膨胀系数(SCTE)。
αse(T)可以利用以下三种方式输入：
1、直接输入αse(T)。在ANSYS中利用MP 直接输入ALPX, ALPY, or ALPZ。
2、使用(25)式并利用αin(T)来计算αse(T)，αse(T)为瞬态热膨胀系数，可以利用MP输入CTEX, CTEY, or CTEZ。
3、使用(26)式并利用εith(T)来计算αse(T)，εith(T)为热应变，可以利用MP输入THSX, THSY, or THSZ。
可以把(25)改写成以下形式：
(26)
(26)式中假定当T=Tref，εith=0。如果不是这样的话，εith将自动移动一个常量。Tref处的热膨胀系数基于用户在临近定义的数据点。因此，如果εith的斜率与Tref不相等，Tref处的热膨胀系数将在下一步计算。
下面给出了εith(T)和αin(T)的关系：
(27)
把(27)代入(26)，得
(28)
No adjustment is needed for αin(T) as αse(T) is defined to be αin(T) when T=Tref
αin(T)不需要校正因为当T=Tref时，αin(T)就被定义成αse(T)。
由上可知，αse(T)取决于我们使用的Tref。如果使用Tref来定义αse(T)，我们必须在热应变等于零时的温度T使用校正。可以使用ANSYS的命令：MPAMOD 。考虑下式：
(29)
(30)
(29)和(30)给出了温度为Tref和T0时的热应变。
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