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摘要：通过齿轮接触分析应用实例，分析了齿轮接触应力的分布和最大应力，介绍了CAXA电子图板齿轮建模和ANSYS接触分析的方法，对接触问题进行探讨，对在计算过程中可能影响收敛的因素：处理界面约束方法、摩擦模型、接触刚度、初始接触条件等的选择和模拟提出建议，通过算例说明了有限元分析在齿轮接触问题上的有效性，提出了齿轮接触的最大应力是在单齿接触时。
1 传统理论分析齿轮间接触问题
传统齿轮接触应力的计算公式是以2圆柱体接触的接触应力公式为基础，结合齿轮的参数导出的。1881年赫兹导出了2弹性圆柱体接触表面最大接触应力的计算公式
以上公式基于如下假设：
(1)2圆柱体为无限长、均质的、各向同性的弹性体；
(2)变形后的接触面积与圆柱体表面积相比较是极其微小的；
(3)作用力为静载荷，与接触面垂直，且沿圆柱体的长度方向均匀分布。
由渐开线的性质可知，渐开线的曲率是变化的，因此，一对齿廓接触点的曲率半径ρΣ是变化的，并且轮齿处在单齿和双齿啮合区所受载荷也不同，因而一对轮齿啮合时的接触应力随啮合点的位置变化而变化。
实际计算中是以节点啮合为计算位置的，因为该位置计算方便，且接触应力也与最大点差别不大。从而得到齿轮的接触应力计算公式
2 有限元理论分析
对圆柱齿轮进行有限元分析时，首先要对齿轮进行力学模型并进行离散化处理，有限元模型的建立合理与否是影响接触边界迭代求解收敛的关键。现有的计算方法都是建立在某种假定接触区形状的基础上，按赫兹的接触理论进行求解，这与实际接触隋况有所不同。齿轮的瞬时接触区形状与压力分布是典型的接触非线性问题，有限元法可以很好地饵决。
将2个弹性接触体A1、A2分离成2个独立物体，根据弹性有限元理论，写出它们各自的有限元基本方程
根据接触条件，得接触边界接触对的接触方程接触边界
将式3、4、5合并得到简化接触方程
用对称方程组的Cholesky分解法进行求解，每次迭代求解时根据接触状态剔除最大负接触内力的接触点对，形成新的柔度子矩阵，循环迭代求解，直到所有接触点都满足接触条件式以及所有接触内力大于或等于为止。
用柔度矩阵法求解三维弹性接触问题，只需调用一次有限元法得到各接触体可能接触点对上分别作用单位力时的柔度值，就可以完成接触问题的求解。
3 有限元模型
对一些比较复杂的结构计算，较为有效的方法是运用有限元模型进行数值计算，来获得所需要的计算结果。为了模拟齿轮之间的接触力的传递情况，在2个齿轮之间考虑了接触问题，采用的有限元计算软件是ANSYS。
3.1齿轮有限元建模
(1)大齿轮主要参数
模数： 2.5 nlln
齿数： 30
材料： 45钢
泊松比：0.259
(2)小齿论主要参数
模数： 2.5 mm
齿数： 30
材料：40Cr
泊松比：0.277
由于ANSYS在齿轮造型比较复杂，所以，利用其比较完善的数据接口，在CAXA电子图板中利用其自带的齿轮库完成齿轮造型，以IGS文件格式导入到ANSYS中。
3.2 定义单元属性
由于直齿齿轮可以转化为平面问题，所以选用二维4节点片面单元PLANEl82用于建立面模型。
3.3 网格划分
如果用智能网格划分可能无法保证分析结果的精确，可以控制轮廓线上的单元数进行智能划分，网格划分结果见图1。
图1 齿轮对整体有限元模型
接触处的局部网格见图2，根据划分情况可以看出在接触处网格足够紧密，而不会产生应力集中的部位网格较疏松。减少了不必要的单元，大大减少了计算量。
图2 局部接触处网格划分
4 建模中的一些问题
由于接触问题是一种高度非线性问题，其处理上存在2大难点：
(1)在求解问题之前，并不知道接触区域，表面之间是接触或分开是未知的，突然变化的，这随载荷、材料、边界条件和其他因素而定；
(2)大多的接触问题需要计算摩擦，有几种摩擦和模型供选择，摩擦使问题的收敛变得困难。接触问题分为2种基本类型：刚体一柔体的接触，柔体一柔体的接触。齿轮接触问题是典型的柔体一柔体的面一面接触问题。
4.1 处理界面约束的方法选择
在ANSYS中，提供了4种处理界面约束的方法：
(1)Lagrange乘子法；
(2)罚方法；
(3)Lagrange法和罚方法结合；
(4)增广的Lagrange法。
Lagrange乘子法的优点是不需要设定参数，并且当节点相邻时，接触约束几乎可以精确地得到满足。缺点是当接触界面变化时，网格必须随着时间变化，增加了方程的自由度数和求解方程的系数矩阵中包含零对角元素，带来求解的不便。因此，Lagrange乘子法更适合于静态和低速问题。
4.2 摩擦类型
切向接触条件是判断已进入接触的2个物体的接触面的具体状态。如果2个物体的接触面是绝对光滑的，或者相互间的摩擦可以忽略，这时分析可采用无摩擦模型，2个物体在接触面的切向可以自由的相对滑动。如果接触面间的摩擦必须考虑，则应采用有摩擦的模型。
在工程分析中，Coulonmb摩擦模型因其简单和适用而被广泛地使用，即f=μ*N，摩擦系数μ可以分为静摩擦系数μs和动摩擦系数μd，在一般情况下μd＜μs。通常取μd=μs=μ，即不区别静、动摩擦系数。本文在整体分析和局部分析中都选用Coulomb摩擦模型，不区分静、动摩擦系数，摩擦系数μ均取为0.3。
4.3 接触刚度
所有的接触问题都需要定义接触刚度，接触刚度包括法向刚度和切向刚度，穿透量的大小取决于接触刚度，过大的接触刚度可能会引起总刚度矩阵的病态，而造成收敛困难，一般来说，应该选取足够大接触刚度以保证接触穿透小到可以接受，但同时又应该让接触刚度足够小以便不会引起总刚度矩阵的病态问题而保证收敛性。
法向刚度Kn应该是足够大以便不会引起过大的穿透，但又不应该大到导致病态条件。对于大多数的接触分析，可以按照下面的公式来估计法向刚度的Kn值(Kn=fEh)。其中，f为控制接触协调性的因子，这个因子通常在0.01~100之间；E是杨氏模量，如果接触发生在2种不同的材料间，考虑使用杨氏模量较小者；h为特征接触长度，这个值取决于问题几何形状的特殊性。
切向刚度Kt的值决定了弹性区的大小，一般来说，切向刚度Kt应该比法向刚度Kn小1、2或3个数量级。当模拟弹性库仑摩擦时，可以使用Kt=Kn/100作为缺省值，然而与Kn一样，如果Kt太大，可能会经历一个病态条件，因此，对大多的情况，Kt的缺省值可能是不适合的，需要不断调整。
4.4 初始接触条件
在接触分析中，还有一个很重要的方面是定义初始的接触条件。在静力分析中，当物体没有足够约束时会产生刚体运动，有可能引起错误而终止计算，若仅仅通过接触的出现来约束刚体运动时。必须保证在初始的几何体中，接触对为接触状态。确定接触面和目标面的原则是：
(1)如果凸面与平面或凹面接触，平面或凹面是接触面；
(2)如果一个表面网格粗糙，另一个表面网格较细，那么网格粗糙的表面是目标面；
(3)如果一个表面比另一个表面刚度大，那么刚度大的表面是目标面；
(4)如果一个表面划分为高次单元，而另一个表面划分为低次单元那么划分为低次单元的表面是目标面；
(5)如果一个表面比另一个表面大，那么较大的表面是目标面。
对于2个齿轮之间的接触问题，可以按如下方法定义接触。
利用ANSYS接触向导定义接触对，将可能有接触的地方都定义接触对，如图3所示，定义1、2、3、4 4个接触对，最后通过应力云图可以看出具体接触的地方。
由于小齿轮的表面刚度比大齿轮大，所以小齿轮为目标面，大齿轮为接触面，目标单元：TARGEl69，接触单元：CONTAC172。
定义实常数：FKN：接触刚度因子。选用1；FTOLN：最大渗透范围，选用0.1；ICONTt初始靠近因子，可用一个小值如1e—10；其余用默认值。
5 算例分析
根据齿轮运动规律，在大齿轮(从动轮)中心孔处的所有节点施加全约束，在小齿轮(主动轮)施加径向约束，在内孔节点处施加切向力，力的大小根据所传递的扭矩计算
F=2T1/nd
n为内圈节点数
选择Newton—Raphson迭代算法进行分析。Newton—Raphson迭代算法在每个载荷增量的末端迫使解达到平衡收敛，每次求解前估算出残差矢量，然后使用非平衡载荷进行线性求解，且检查收敛性。如果不满足收敛准则，重新估算平衡载荷，修改刚度矩阵，获得新解直到问题收敛。
设置载荷步为20步，进行求解，得到接触应力云图见图5。从云图中可以清楚地看出：有2齿接触，最大应力在下面的接触点，值为219 MPa。
图5 2齿接触应力云图
由于齿轮是在不停旋转的，而在不同的啮合位置其接触应力分布和大小都有变化，将齿轮旋转一定角度，使其啮合部位发生变化到如图6的位置，可以看到如图啮合状态，只有单齿接触，其他部位都没有接触，最大接触应力为563 MPa，位置在节圆附近。
图6 单齿接触应力云图
6 结论
(1)用大型有限元软件ANSYS可以对齿轮接触问题进行分析，其计算精度高，可以直接得到齿轮工作时的各项参数，使齿轮CAE变得简单。
(2)在接触问题的数值模型中，界面约束方法、摩擦模型、接触刚度、初始接触条件都是影响计算结果重要因素。
(3)由于齿轮啮合部位不同，其接触应力也会发生变化，最大接触应力发生在单齿接触时，位置在节圆附近。在多齿接触时其最大接触应力会小得多。
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