(5) 结点连元法

　　结点连元法是先生成结点，然后连接结点构成单元。最常用的是DT法和AFM法。

① DT法的基本原理：

　　任意给定N个平面点Pi(i=1,2,…,N)构成的点集为S，称满足下列条件的点集Vi为Voronoi多边形。其中，Vi满足下列条件：Vi ={ X:|X- Pi|(|X- Pj|,X(R2,i(j,j=1,2,…,N }Vi为凸多边形，称{ Vi}mi=1为Dirichlet Tesselation图或对偶的Voronoi图。连接相邻Voronoi多边形的内核点可构成三角形Tk，称集合{ Tk }为Delaunay三角剖分。DT法的最大优点是遵循“最小角最大”和“空球”准则。因此，在各种二维三角剖分中，只有Delaunay三角剖分才同时满足全局和局部最优。 “最小角最大”准则是在不出现奇异性的情况下，Delaunay三角剖分最小角之和均大于任何非Delaunay剖分所形成三角形最小角之和。 “空球”准则是Delaunay三角剖分中任意三角形的外接圆(四面体为外接球)内不包括其他结点。 实现Delaunay三角剖分有多钟方法。Lee和Schachter操作很有效，但很难实现。而Watson、Cline和Renka、Sloan因操作容易、时间效率较好等优点而被广泛采用。为了进一步提高效率，Sloan研究其算法操作，提出了时间复杂性为O(N)(N为结点总数)的操作方法，从而为快速Delaunay三角剖分提供了有效途径。 虽然DT法既适用于二维域也适用于三维域，但直接的Delaunay三角剖分只适用于凸域，不适用于非凸域，因此发展了多种非凸域的Delaunay剖分。

② AFM法的基本原理：

　　设区域的有向离散外边界集和边界前沿点集已经确定，按某种条件沿区域边界向区域内部扣除三角形(四面体)直到区域为空集。

　　AFM法的关键技术有两个：一是区域的边界离散和和内点的合理生成。二是扣除三角形条件。 目前，扣除三角形的条件有多种。

a 最短距离条件。
　　选取到该区域边界前沿垂直距离最短的点或到边界前沿端点距离平方和最小的点构成三角形(四面体)。

b 最大角条件。
　　在平面区域选与有向边界前沿BC边构成角(BAC最大的A点。实体区域选与有向边界前沿三角形(ABC构成的四面体ABCD在D点实体角最大的点。这种选取点构成三角形(四面体)方法可靠，但由于对应于同一边界前沿可能存在多个最大角情况，我们称这种现象为奇异现象。

c 最大形状质量条件。
选取与边界前沿所构成的三角形(四面体)形状质量最大的点构成有效剖分。

d 最小外接圆(球)条件，即空球条件。
　　选取与边界前沿构成的三角形(四面体)中外接圆(球)半径最小的点构成有效剖分。即在所形成的三角形(四面体)中不包含任何其他边界前沿点集。 单一使用上述四种四面体扣除条件均会出现奇异情况。使用后两者扣除单元都将可能引起剖分不可靠，如不可剖分及单元相交等。 AFM法最大优点是不仅在区域内部而且在区域边界所生成的网格单元形状均优良，网格生成全自动，可剖分任意实体。如果将板/壳、实体和梁采用统一的数据结构，则可采用该原理实现不同维数和多种材料等混合工况结构件的网格自动剖分。若配合误差估计，则这种方法在自适应网格再生技术中使用效果甚佳。 目前的发展趋势是采用AFM/DT混合法。在平面域已得到了成功地实现，但三维实体区域仍存在多钟问题，例如：可能出现剖分不可靠和奇异等现象。

4. 自动自适应网格剖分

　　有限元的自适应性就是在现有网格基础上，根据有限元计算结果估计计算误差、重新剖分网格和再计算的一个闭路循环过程。当误差达到预规定值时，自适应过程结束。因此，有效的误差估计和良好的自适应网格生成是自适应有限元分析两大关键技术。 就目前国外研究来看，自动自适应网格生成从大的方面可分为两类：网格增加技术和网格再生技术。

(1) 网格增加技术

　　该法主要依靠增加自由度总数来提高有限元分析的精度。目前主要采用三种类型方法提高有限元分析精度：h-型、p-型、和h-p-型。h-型采用有选择地进一步子划分网格单元来细化网格以提高自由度。该法使用特别广泛，RSD模型的网格改进正是利用该法。p-型在保持网格划分不变的情况下，通过提高插值函数的阶数获得高的求解精度。h-p-型是将h-型和p-型两种结合的一种方法。该法虽然实现不容易，但它却可使收敛速率明显加快。实践表明，在获得同一精度时，上述三种类型收敛速率是按h-型?p-型?h-p-型顺序增加的。

⑤ 形成封闭环。从内部等值线和区域边界中获得边界链，并按正确顺序连接边界链和内部等值线链构成封闭环。

⑥ 形成子区域。子区域的结点密度等于区域边界结点密度的平均值。

⑦ 网格生成。
　　采用二维平面网格生成方法构成三角形。 从理论上讲，该原理可扩充到三维实体域，但由于三维实体域难以完全自动用等结点密度曲面来分割任意实体，因此在三维域的扩充至今仍未实现。 实践表明，网格再生技术比网格增加技术具有更大的优点，主要表现在前者收敛速度快、网格单元形状稳定。
另外，还有两种自适应网格生成类型，它们是r-型和h-r-型。r-型是保持网格划分和插值函数阶数不变情况下，通过调整结点位置以改善求解精度。该法收敛速度低，因此，目前很少直接使用这种类型。h-r-型是上述r-型和h-型两种方法的综合。事实上，在h-型网格改进中所使用的光顺技术就是一种r-型，所以可以把h-r-型看成是h-型。

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